中国学生为什么数学那么好
数学表现的突出成就
这次测评分数学、阅读、科学三个领域，上海都位列第一，三者平均得分高出OECD各国（地区）平均分分别为119分、74分和79分，其中数学的优势特别明显。测评把数学素养界定为三个方面——从各种背景的问题情境抽象为数学问题的表述能力，从数学问题得出数学结果的运用能力，对此结果放置于现实情境中去的阐释评估能力。它包括数学式的推理，以及使用数学概念、步骤、事实和工具来描述和预测现象。上海学生无论哪方面都处于领先地位，数学表现平均总得分为65个国家（地区）的首位，达到613分。
从学生精熟度水平来看，无论是等级分类，还是内容分量、过程分量等各项，上海学生均处于世界首位。如高水平精熟度，即掌握概念、推理、建模等高层次数学思维方法的学生，占总学生数的55.4%，OECD平均仅占12.6%。低水平精熟度，即没有掌握适应未来生活和工作所必需的基本数学能力的学生仅占3.8%，OECD平均则为23%。
如上表现，是30多年来上海数学教育重质量、抓均衡的一项重要成就。
主要学习特征与“秘密”
该项测试，除了学业成就，还对学生学习的机会、学习者自身的特征、学校均衡与教育公平，以及包括师生关系在内的学校因素的作用，进行了较为全面的调查和考量，试图据此解读取得成就的“秘密”。从本次测评有关学习特征所得资料看，至少可有如下一些角度可供研讨。
第一，重视具有内在逻辑主干的正式数学的学习，讲求渐进的顺序、内容的重点和有台阶的攀登。所谓正式数学，主要指概念、法则、定理演绎体系的数学。本次测试，专列“学习的机会”一项，将机会区分为接触应用数学的机会、接触正式数学的机会等类别。从学习者接触正式数学与应用数学的机会看，上海学生接触正式数学的机会最高，且差异很小。数据还显示，学生接触应用数学的频率与数学成绩呈负相关；相反，接触正式数学越多，成绩越高，这是一个值得探讨的话题。正式数学教与学的特点在于学科内在逻辑主干清晰，利于把握重点循序渐进，从而引导有计划的攀登。
有意思的是，PISA测试成绩最高的几个东亚国家大多集中在高正式、低应用象限，新加坡值得注意，测试成绩高，但处在高正式、高应用象限。很多发达国家分布在双高象限，如俄罗斯、美国等；测试成绩排位在前，但处于高应用的国家，如荷兰、加拿大、德国、澳大利亚、新西兰、法国等，这些国家（地区）的经验，我们必须认真学习与借鉴。
第二，重视从所犯的错误中学习，讲求练习的精细安排、注重变式与化归以及针对性的纠错指导。据数据统计，上海的学生校内每周上课时间平均28.2小时，位列65个国家（地区）第9，而课外作业时间每周平均13.8小时，位列第一，57.3%的学生作业（各门学科）超过11小时，其中数学的作业是大头。教师的时间、精力有很大部分放在讲解数学问题、批改指导练习与作业上。
本次测试调查“数学老师帮助我们从所犯错误中学习”时，学生回答“总是或几乎总是”和“经常”的百分比，上海为74.2%，比OECD的均值60.2%高出14个百分点，有明显正差距。这种从错误中学习，对低端学生来说，及时的、针对性的纠错练习与指导，对掌握基础知识、基本技能成效显著。对中等以上甚至高端学生，有梯度的变式、探索性问题的化归，通过精细的分层次安排，十分有利于学生锤炼出好的数学学习方式。
第三，重视激发学生学习数学的内部动机，讲求坚持性、学习兴趣和解决问题的自信力。学习动机分外部的激励和内部的自驱两大类。上海学生的外部动机水平与OECD平均水平相当，而学习数学的坚持性和学习兴趣显著优于OECD平均值，而解决数学常见问题的自信水平达到了本次测评的最高值。我国的课堂，纪律好，极少有吵闹和捣乱，数学课的纪律风气指数高，对学生认知的激发比较好，学生学习数学很勤勉、善坚持。上海学生的数学自我效能感比OECD平均值高出一个标准差，但对自己能力的评价并不高，较多学生有焦虑，女生更甚。
存在问题与后续讨论
成绩导致自信，问题使人清醒，而成熟是看透了两面之后的重新开始。让我们不妨找一找这次测评中有哪些真实的差距。
第一，上海学生的课业负担尽管正在着力减轻，轻负高质初见成效，但总体上还是偏重，尤其是课内练习密度高、课外作业时间长，使学生自由学习的时间与其他方面的成长空间相对匮乏。第二，从数学教学的角度看，我们特别关注知识、技能等正式数学，却对应用数学的重视不足，与不少西方发达国家有较大差别。我们较多关注练习纠错，少了思考和发现的过程，如回答下列事件是否经常发生时，“老师布置需要我们花很长时间思考的问题”，上海占比31.1%，OECD均值53.3%；“老师会让我们做一些不能立即发现明确解题方法的题目”，上海占比31.7%，OECD均值41.6%，有明显负差距。第三，从数学过程分量精熟度水平看，尽管表述、运用、阐释都位居第一，但长于表述、运用得到结果，至于对结果的实际解释、评价与预测相对要差一些，这也值得注意。
我国的数学教育源远流长。西方有《几何原本》为代表的欧几里得公理推演体系，我们有《九章算术》实用问题分类归纳的算法走向。这两种思维各具特色，一直发展到当代公理化与算法化的两大分野，它们之间的融会，也许能为数学教育新体系的建立提供思路。
新中国成立之初，老一辈教改先驱基于国际眼光，提出支配数学教育目标、材料和方法的三大原则：实用性原则、论理（推理）的原则、站在学生立场的心理的原则，而且提出三大原则必须统一，心理性和实用性应该是论理性的向导；选择教材不应该先将实用性（今称应用数学）和论理性（今称正式数学）分别采取、然后合拢，数学的真理性具有向实在进展和内部逻辑结构的两面，两面不会分道扬镳、各自存在。
20世纪80年代以来，一方面是事实上中国学生的数学表现明显优于西方学生，另一方面西方研究者认为中国学生的学习环境（如应试压力）不太可能产生好的学习成绩，如此巨大的反差，在世纪之交竟以“悖论”的形式呈现了一个国际关注的热点：华人如何学习数学。上述看似矛盾的结果引出了深入的讨论。中国学生为什么数学那么好？有人认为是由于有好的课程逻辑，有人认为是由于教师的有效教学（三级教研系统注重教学行为中扎扎实实的反思），也有人认为是华人家庭、社会特有的习惯与文化支撑。个中原因，毫无疑问足以摆到必须深究的议事日程上来。
（华东师范大学博士生顾非石协助整理本文）
PISA数学例题
在一场摇滚音乐会中，有一个长
2000，5000，20000，
50000，100000
上图（图三）呈现的是某个人行走的脚印。步长P代表两个连续脚印后跟的距离。公式n/p=140给出n与p之间的大致关系：n=每分钟的步长；p=以米计步长。
问题一：如果此公式适于Heiko的行走且他每分钟走70步，Heiko的步长是多少？
问题二：Bernard知道他的步长为
一家比萨店制作了两个大小不同但相同厚度的圆形比萨饼。小的直径为
乐队4U2Rock和The Kicking Kangaroos在一月份时发行了新CD。二月份时乐队No One"s Darling和The Metafolkies也发行了新CD。下图（图四）展示了各乐队1月至6月的CD销量。
问题一：乐队The Metafolkies在四月份销售了多少张CD？
250，500，1000，1270
问题二：乐队No One’s Darling在哪个月的销售量首次超越乐队The Kicking Kangaroos？
没有，3月，4月，5月
问题三：乐队The Kicking Kangaroos的CD销量从2月至6月一直下降，如果仍以同样的下降趋势发展，估计7月份的销量会是多少？
70CDs，370CDs，670CDs，1340CDs
PISA阅读例题
图—显示位于北非撒哈拉乍得湖的水深改变状况。约在公元前20000年，最后—次冰河时期，乍得湖完全消失了。直至公元前11000年它又再次出现。现今湖水的深度仍然跟公元1000年大致相同。
图二显示撒哈拉岩石艺术图(在山洞石壁上发现的古代图案或图画)和野生动物的变化样式。
依据前面有关乍得湖资料，回答下列问题。
(—)乍得湖目前的湖水深度是多少?
1.约
3.约
(二)图—所描绘的图片大约起自何年?
(三)为什么作者选择这—年作为开始?
(四)图二是根据以下哪—项假设来制作的?
1.岩石艺术图上的动物在绘制的时候就已经存在。
2.绘制动物的艺术家技巧十分高超。
3.绘制动物的艺术家曾到很多地方旅行。
4.没有人想要饲养在岩石艺术图上所描绘的动物。
(五)收集图—和图二的信息回答:犀牛、河马和野牛从撒哈拉岩石图中消失是起于:
1.最近—次冰河时期开始时。
2.乍得湖湖水最深的中段时期。
3.乍得湖湖水深度持续下降已—干多年后。
4.不间断干旱时期开始时。
PISA数学素养测评的新发展
■朱小虎
作为全世界影响最大的学生学业能力测评项目之一，PISA对素养的测评反映了大多数国家比较一致的认识，对我国基础教育改革与发展具有重要的借鉴意义。
作为PISA测评的三个主要领域之一，数学素养分别在PISA2003和PISA2012作为主要领域进行测试。在PISA2003的基础上，PISA2012数学素养的概念及测评发生了一些新的变化。
1.重视数学学科特征
“素养”是PISA测评的核心概念，指学生应用所学知识和技能，分析、推理和进行有效沟通，解决和解释各种不同情境中问题的能力。
在PISA2003中，数学首次作为主要领域进行测评，数学素养被定义为“个体识别和理解数学在世界中所起作用的能力，做出有根据的数学判断的能力，以及作为一个关心社会、善于思考的公民，为了满足个人生活需要而运用和从事数学活动的能力”。在PISA2012中，数学素养是“个体在各种背景下进行数学表述、数学运用和数学阐释的能力。它包括数学式的推理，以及使用数学概念、步骤、事实和工具来描述、解释和预测现象。它帮助个体认识数学在现实世界中所起的作用，做出有根据的判断和决策，以成为具有建设性、参与意识和反思能力的公民”。
比较两个界定，可以发现PISA 2012更强调数学的学科特征。
2.问题解决步骤替代“能力群”
PISA2012的测评框架与之前测评框架基本一致，数学的情境维度依然划分为“个人的、职业的、社会的、科学的”四个主要类别。具体包含“变化和关系”、“空间和图形”、“数量”以及“不确定性和数据”四个方面。
测评框架最大的变化是对数学过程的描述。PISA2003将数学过程区分为“再现”、“联系”和“反思”三个由简单到复杂的“能力群”，PISA2012依据个体数学问题的解决步骤来划分数学过程，包括数学化的情境表述、运用数学的概念、事实、步骤和推理，以及阐释、运用和评估数学结果。而每个问题的解决阶段，均涉及数学的基本能力。PISA2012将之前的8个基本数学能力重新归纳为7个，分别是交流，表征，设计策略，数学化，推理和论证，使用符号化、形式化和技术性的语言和运算，使用数学工具。
3.新内容与新方法
积极主动地参与学习、较高的学习动机以及良好的自我信念是学生增长知识提高能力的基础，也是终身学习的前提条件。PISA2012主要从三个方面考查了学生在这些方面的特征及其与数学成绩的关系。与PISA2003相比，动机方面新增了对学生学习坚持性、问题解决开放性、学习控制感三个指标；自我信念方面新增了数学自我概念、数学偏好两项内容；在参与度方面，在学生对学校学习的态度方面新增了对学习活动的态度。
在调查学习者个体特征时，PISA引入了“辅测定锚法”以减少因个体评价标准不同而造成的自陈式问卷国际可比性差的问题。例如，上海学生数学自我概念指数为-0.05，低于OECD平均。但用辅测定锚法矫正后，上海学生数学自我概念指数为0.29，显著高于OECD平均。
摘自《中国教育报》
第三，重视激发学生学习数学的内部动机，讲求坚持性、学习兴趣和解决问题的自信力。学习动机分外部的激励和内部的自驱两大类。上海学生的外部动机水平与OECD平均水平相当，而学习数学的坚持性和学习兴趣显著优于OECD平均值，而解决数学常见问题的自信水平达到了本次测评的最高值。我国的课堂，纪律好，极少有吵闹和捣乱，数学课的纪律风气指数高，对学生认知的激发比较好，学生学习数学很勤勉、善坚持。上海学生的数学自我效能感比OECD平均值高出一个标准差，但对自己能力的评价并不高，较多学生有焦虑，女生更甚。
存在问题与后续讨论
成绩导致自信，问题使人清醒，而成熟是看透了两面之后的重新开始。让我们不妨找一找这次测评中有哪些真实的差距。
第一，上海学生的课业负担尽管正在着力减轻，轻负高质初见成效，但总体上还是偏重，尤其是课内练习密度高、课外作业时间长，使学生自由学习的时间与其他方面的成长空间相对匮乏。第二，从数学教学的角度看，我们特别关注知识、技能等正式数学，却对应用数学的重视不足，与不少西方发达国家有较大差别。我们较多关注练习纠错，少了思考和发现的过程，如回答下列事件是否经常发生时，“老师布置需要我们花很长时间思考的问题”，上海占比31.1%，OECD均值53.3%；“老师会让我们做一些不能立即发现明确解题方法的题目”，上海占比31.7%，OECD均值41.6%，有明显负差距。第三，从数学过程分量精熟度水平看，尽管表述、运用、阐释都位居第一，但长于表述、运用得到结果，至于对结果的实际解释、评价与预测相对要差一些，这也值得注意。
我国的数学教育源远流长。西方有《几何原本》为代表的欧几里得公理推演体系，我们有《九章算术》实用问题分类归纳的算法走向。这两种思维各具特色，一直发展到当代公理化与算法化的两大分野，它们之间的融会，也许能为数学教育新体系的建立提供思路。
新中国成立之初，老一辈教改先驱基于国际眼光，提出支配数学教育目标、材料和方法的三大原则：实用性原则、论理（推理）的原则、站在学生立场的心理的原则，而且提出三大原则必须统一，心理性和实用性应该是论理性的向导；选择教材不应该先将实用性（今称应用数学）和论理性（今称正式数学）分别采取、然后合拢，数学的真理性具有向实在进展和内部逻辑结构的两面，两面不会分道扬镳、各自存在。
20世纪80年代以来，一方面是事实上中国学生的数学表现明显优于西方学生，另一方面西方研究者认为中国学生的学习环境（如应试压力）不太可能产生好的学习成绩，如此巨大的反差，在世纪之交竟以“悖论”的形式呈现了一个国际关注的热点：华人如何学习数学。上述看似矛盾的结果引出了深入的讨论。中国学生为什么数学那么好？有人认为是由于有好的课程逻辑，有人认为是由于教师的有效教学（三级教研系统注重教学行为中扎扎实实的反思），也有人认为是华人家庭、社会特有的习惯与文化支撑。个中原因，毫无疑问足以摆到必须深究的议事日程上来。
（华东师范大学博士生顾非石协助整理本文）
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